← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.3.1.90112_442368_499712.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 3\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
3
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 3 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 3 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-159489671737958421653510881888a^{2} + 169305391241465673545836448896a + 274656352873607890339027425496 )x^{47} + (84987667748209572396847438960a^{2} - 57043730610724286307849157636a - 471753740124381709151388814220 )x^{46} + (445362452896052729771106354416a^{2} - 326197553861098314625143358152a - 404314131835604026883700361656 )x^{45} + (-347744359236051186297266225372a^{2} - 53171847923437931096597846368a - 302375274304743761178548099480 )x^{44} + (156359206767922142145189075468a^{2} - 165224677093259178199421621556a - 110667754365539518794553641788 )x^{43} + (-172204202928931017321462859332a^{2} + 43401791577279874052534401672a + 74951268604644106793624153300 )x^{42} + (236047358299973410865696882224a^{2} - 293341913989768011487510716440a + 529987815423109044136148302920 )x^{41} + (-404228227850353665669992555042a^{2} - 230674229956049472783062515564a + 482729766896132972101500753894 )x^{40} + (-260587749271433066092588291524a^{2} - 514740513093189025651402193012a - 485136772545878650176910938748 )x^{39} + (-319882485714599371713837925720a^{2} - 246972693781657292680528669848a + 330942168237160534274999351928 )x^{38} + (152696844412409955404030192060a^{2} + 483895438491257189099639023708a + 291861998759339216098355333792 )x^{37} + (-147288556216968406461716313260a^{2} - 468672948473313217701706857734a - 484148580934081262917551719122 )x^{36} + (-46096304120740219993048900884a^{2} + 577078828368594433478826971748a - 492505492374613666664307438808 )x^{35} + (-565844496449132085055328364088a^{2} + 14356216718007918621060001888a + 506230936015516811943822871572 )x^{34} + (-113355690634485708147429165072a^{2} + 216371110754187863934123608684a + 13811487291562604464541416004 )x^{33} + (364278402406514443187523853500a^{2} + 603342014096723656609830179732a - 560619201623789587978296685584 )x^{32} + (-216772491696668624610332483656a^{2} - 492055020801824922617541733232a + 455600705391017678742798879048 )x^{31} + (351458465955783574870336122648a^{2} - 174561228732139851684791578976a + 18724509320647418805216247256 )x^{30} + (-255989806734882545051442413832a^{2} - 196338936917767975783140752436a + 242774401450509221509694929740 )x^{29} + (28716705442394703729029186392a^{2} - 185049719203325963803217641376a + 16504363295458491024536377260 )x^{28} + (-193858009074726978108329536000a^{2} + 374676027599754152567982123124a + 468639486035739593712975694500 )x^{27} + (390732118868743051742232221480a^{2} - 28887585700740702949846439460a - 121605317545223115468724363836 )x^{26} + (-181671731429469249468231156576a^{2} + 532639173861186954832687216a - 521743343336960260448947731120 )x^{25} + (-579013590237712159179612290292a^{2} + 308970932774848732620895451816a + 379675220320157337697478329116 )x^{24} + (134927397105232696462975844536a^{2} + 285982716037398770741442077128a - 488787413988544170939880712344 )x^{23} + (60126562393272968382577336696a^{2} + 580229937361945142780597357668a - 598448544762199392097046184792 )x^{22} + (-254923749877778663386912077860a^{2} + 248704698944288216874835819896a + 32862605577761157914519214648 )x^{21} + (-68141288493270787631023058032a^{2} + 519780204697340225415757652384a - 301650884602406984326332793776 )x^{20} + (307929960222433366813082622640a^{2} + 258782163500655584176834174064a + 117805504553013024335050380576 )x^{19} + (-317260235532508381510601775360a^{2} + 553599584283832640728529524848a + 208480861688506247299591825864 )x^{18} + (-23623733004665438525301011688a^{2} + 8916214933611277049255981928a - 86286458743389162454689636096 )x^{17} + (445193181004103128934636831144a^{2} - 168297174159931524746138357008a + 102732720633499328125976556260 )x^{16} + (568457405294063254626957397248a^{2} + 176622797534032755584351430248a - 136213538383333609162676095360 )x^{15} + (-523007150207281861988612069912a^{2} + 444459982120946887763849948192a - 62516757761386840035110166832 )x^{14} + (-445351196611979991926233691792a^{2} - 163293220680059641916956253336a - 14506269198919434098771752112 )x^{13} + (175332206064999782516691477416a^{2} - 148027282084787695431651152440a - 447597863101527059871454471560 )x^{12} + (-93201013735890181536149896120a^{2} + 245311396027160983622716079808a - 235913457970622580347530298672 )x^{11} + (-373515335274757038911494031704a^{2} - 53175098953041050452686055528a - 467998034071921785267231296000 )x^{10} + (-114248211734747593525863277736a^{2} - 400400545465927265391395209000a - 187313975677673362399261545672 )x^{9} + (439202201529032608676446180232a^{2} - 618799338756417196068713588176a + 78649736895793350015665680424 )x^{8} + (-209408748024854790179647462208a^{2} - 578266635489057629255437197952a + 410838938318021475694927513568 )x^{7} + (-474507386757795249117579490080a^{2} - 273008551829193028369469604832a - 265864313814020908811856595672 )x^{6} + (-464788491350096508247719560784a^{2} + 214333850879821902200396360296a + 526932426611206867434991179888 )x^{5} + (-142350790438580798524947893184a^{2} - 177766762027444614826571244808a - 610872889282167500228845248528 )x^{4} + (-163239409322314500126488872304a^{2} + 421346877261217170448999814544a + 266571251643480794812605955136 )x^{3} + (540181952966913917694794866592a^{2} + 427211324385929569527626462272a + 358379085590461174417331304312 )x^{2} + (552944570533624027455029284568a^{2} + 334911768697033608596469182240a - 531977334356181959112138249640 )x - 206366726177188076838283558596a^{2} - 485502199222033449602368910992a - 57228364548344015115061367088 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary