← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.3.1.81920_270336_352256.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 3\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
3
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 3 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 3 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-143956448192381474603094040096a^{2} + 510924563540284207565968261000a - 36804201929572660410324794152 )x^{47} + (343081517471860162614089427612a^{2} + 558880060910753545881286768792a + 235214370565824747936799120344 )x^{46} + (183768500199590463204331955256a^{2} + 501827034166862802234120215344a - 45674021311421049555357412912 )x^{45} + (-445486087441111368548638310296a^{2} + 64968019641230945762304992084a + 135303151064114327370194436504 )x^{44} + (-484681457017596188513873465768a^{2} + 225604155546838987042896508820a + 33130879996776245753632332716 )x^{43} + (560757501768247574067473728740a^{2} - 8297532668532645271104234996a - 316505445133506653851424457876 )x^{42} + (57661924841448616909272689496a^{2} + 306782318850659325615565005152a + 453541125115985038132840150336 )x^{41} + (359893752018149424869324201594a^{2} + 441657969892165588804224919520a + 597585464294427396258120353876 )x^{40} + (-322267995128899381147362583868a^{2} + 277639317182172447827414214316a + 447292821123214313399925032504 )x^{39} + (-390736297035484409136164796124a^{2} + 258366422902532499119677433916a + 615298680809972107912880151692 )x^{38} + (-183622880660064913727304976356a^{2} + 321120319458577301308732073924a - 80495453079127676963393171724 )x^{37} + (235857024629290430859061620612a^{2} - 287030096559071180857089568650a + 348422532103811907665693342824 )x^{36} + (333302891666964701697500263060a^{2} + 328225866769771636872763071680a - 76868750478936746548802950284 )x^{35} + (454873129355608106525467859444a^{2} + 504530986270115300947946720944a - 629268048878058081765295258268 )x^{34} + (-128323310401962123936536419624a^{2} + 521812982882456305370050104296a - 218202470433535897380086628708 )x^{33} + (-276836360044874233427588786404a^{2} - 516756410743016724236842018548a - 99472401540009662310099632428 )x^{32} + (246158924834295181179197424232a^{2} + 59171896468225586818161383968a + 437325570935619572980889029208 )x^{31} + (-157241628639380077256569659144a^{2} + 546575162897048705774749782852a - 555866860155779151899136399636 )x^{30} + (64176179158401844287831126104a^{2} + 4138053102006571370987610324a + 257464249878606256714815952512 )x^{29} + (-283150719910532695850579894888a^{2} + 495978915117219778887977219200a + 284297656575490209816461896204 )x^{28} + (-584626252222298460244697237648a^{2} + 413777578207370005581897594500a + 59779755721717163059527567064 )x^{27} + (51915677447736961221448108680a^{2} - 103060247900973801535147313520a - 61299031094877981508993446060 )x^{26} + (554727583220243999780129051184a^{2} - 621451470820270575297508069112a - 318729033655427800612514687696 )x^{25} + (-239837572140327452646271501224a^{2} + 96832782333906597476486658100a + 610858493461017443134753595660 )x^{24} + (597820721472541229949084769144a^{2} + 59966212666217082467643665208a - 346941542509935064442752979520 )x^{23} + (-630453411082668411981201093108a^{2} - 496956474724269239613682462348a - 238255612499386163760542811564 )x^{22} + (-487231954558653565006335556376a^{2} + 57651202863712656077768118732a + 180431834523108532463810621316 )x^{21} + (317644015509498925946908923872a^{2} + 424803253423498449588125744448a - 234786066028454353666899776736 )x^{20} + (499147783674742611778362625536a^{2} - 449587775923959630566550405104a + 109183297009604723339515943184 )x^{19} + (236598572132746630606281068336a^{2} + 498639591063379800957604109240a + 257742342124465429961834473160 )x^{18} + (82054232201024378140308957264a^{2} + 22580194608308083762868310368a - 544995527373718964035254566488 )x^{17} + (15763006680515123549854117656a^{2} + 268540200434650356903024176064a - 80363944691043825079935997780 )x^{16} + (434044374028638864864641815544a^{2} - 20258876598254503696388292936a + 148484031660064386893281661336 )x^{15} + (-397577935706589409475545216480a^{2} - 530970659214681322014318818728a + 147967612979642318806048207304 )x^{14} + (-463022825390941917294325507784a^{2} - 304428925023505502803928345288a - 366622280485577807441494379736 )x^{13} + (174891705223703535367352230680a^{2} + 537529132850889984045386600880a - 435937077604683799531099475488 )x^{12} + (-280315137840746028687586546024a^{2} - 577258651167220886439364600736a - 465274431402225632558462382816 )x^{11} + (512770819385469799754778157544a^{2} - 442603168220901576166938640288a + 126176105175190476070408636536 )x^{10} + (-543171385584772441069563810184a^{2} + 338426000012507336115505225192a + 54526911411650465687779909720 )x^{9} + (-389691827031376908103873223672a^{2} + 482915240101859243079630171968a + 508983415094679232138324143168 )x^{8} + (-607711050262393882431733158224a^{2} + 627678722295476100144257389872a + 73205792591448065150738860688 )x^{7} + (-578064010389085747215141000408a^{2} + 376615749758497456135347473552a - 238988099331097031772510784952 )x^{6} + (462262238181264123627006340024a^{2} - 249755014203717016319103787048a + 96080167410334404837180001888 )x^{5} + (-171261311492877681709207831528a^{2} - 2120158698062161788603382648a + 190649960348537556525257854040 )x^{4} + (517957835939006160225017316336a^{2} + 190699399979796004235114383104a + 105047829197785204147805605968 )x^{3} + (-116427367143132342505770760800a^{2} - 498534335053191381363440468368a - 117720759592383117370718409576 )x^{2} + (-594779440134141017070349635480a^{2} - 311608515123426407040949163808a - 490788562440526995566212394960 )x + 181917823208325454317429606248a^{2} + 579532438488528757763540705452a + 140612022176824173378124779356 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary