ex.24.3.1.73728_139264_196608.a

Base Field

\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗

Description

exceptional, SL(2,3)

Construction

Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below

Semistability defect

\( e = 24\)

Conductor exponent

\( v(N) = 3\)

Character Order

4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order

4

Conductor exponent

3

Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 3 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 3 } }\) :

\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).

\( x^{48} + (-278129354313803635421041296720a^{2} + 118827082777024357435416976620a + 467868615582823843171417676184 )x^{47} + (311754678623860046291539211904a^{2} - 103391199264061220391124937976a + 78722606505975313124102685410 )x^{46} + (-557594139772481316106324192136a^{2} - 61051009082623648329823400160a - 404683204714353669988785614016 )x^{45} + (95215094979425883872318771302a^{2} + 565235984799058060662664986314a - 506807550251800065322099351082 )x^{44} + (-495223165880484199095648406644a^{2} - 489484539004930845899095290288a - 174973501511449722067545158684 )x^{43} + (-540776226013203798056477635796a^{2} + 372243888487561019609453998888a - 511108862035289062204193186704 )x^{42} + (-365492210103521472489919720226a^{2} + 13346216548757102943835228444a - 506179780169340784650051597100 )x^{41} + (471317394587591161382730672552a^{2} + 291490423817738166616084640304a - 459321281708297277736545237740 )x^{40} + (387110769700580576070319531192a^{2} + 511856931325037931096647964992a - 347274007060516835645838399640 )x^{39} + (-116307378784376619938492578610a^{2} + 201648128887168492777693201180a - 434843152531553698114046742946 )x^{38} + (-186921581024451782945080937656a^{2} + 261481275959804487670057430248a + 284169942492089159951611597356 )x^{37} + (620687310253410255461548747810a^{2} - 411327292919706145623796891938a + 539593448033408766277773483668 )x^{36} + (20497633964841243297322701496a^{2} + 294432085592283450875863352896a + 457897214794676710575724109584 )x^{35} + (-31963207872516348668382517512a^{2} - 196749968721517824854918869192a + 193385727058145745620859933584 )x^{34} + (-418680175536982509896489242264a^{2} - 35315197600069957608504092264a + 261411502934661830038654153444 )x^{33} + (185732995478121250027345509984a^{2} - 358346792664150209527268975240a + 497384122425962575522517548928 )x^{32} + (234303112685049853653405789160a^{2} + 419000823677879007222831631804a - 228568256084882249862662228256 )x^{31} + (610257116570199200851633352180a^{2} - 406222706646984619096912388020a + 121239488398699130767546843932 )x^{30} + (-485705192994173070375322695608a^{2} + 157903403993625328625732990768a + 94917609041058470107255738848 )x^{29} + (139079032041450868283618543212a^{2} - 289196212603641689275661324a + 290556457830326273622857578980 )x^{28} + (-58250777452016735018802609028a^{2} + 234330901570187859453200953604a - 361283999101536475196572190448 )x^{27} + (633454086063480739590803334056a^{2} - 466812029380435649035052251152a + 224119950274864608141195292040 )x^{26} + (-243349506280391452883412601612a^{2} - 413312030978516528143118113544a - 4612591802176152645844243160 )x^{25} + (286941114663059565115107490260a^{2} + 614167018995096116791094529012a - 465273718892163282596678747716 )x^{24} + (263166371577784813954832460352a^{2} - 478890325545485648629313124112a + 349205041708792169045289023128 )x^{23} + (272273294166446081990106101300a^{2} - 527870430505151863844418449128a - 320549584939140975264967685932 )x^{22} + (501128628793699105072785524044a^{2} + 252131458871081200538308908972a - 283507834813411947646075235876 )x^{21} + (-154788592767170602521066625792a^{2} - 515826053602566021854274359984a - 528059860467966087754007087616 )x^{20} + (141826957661144855931528492128a^{2} + 167128701433606801930880931264a + 364308473947558481457258162624 )x^{19} + (561799900130905532850848958696a^{2} - 65266516222231159179140888168a + 142065392999413336312114122624 )x^{18} + (556989548607370018594117453976a^{2} - 444881481338072450551112218012a - 195301668258874055685466921800 )x^{17} + (-107140479668994059735205062512a^{2} + 242802739367269889737645670752a - 145579534557001889606132390576 )x^{16} + (525190264417198477809906376024a^{2} - 30456337029436752146795173016a + 369451502099307224275955396504 )x^{15} + (238454128394097805593145833012a^{2} - 332400489210950168012608016292a - 113678242341822469801677679140 )x^{14} + (232524552960957646664386992008a^{2} - 237223305913416826104423598880a - 39396619830365437541138052008 )x^{13} + (544471976979668818622734130968a^{2} + 137430180702434775719096701904a + 132967774057572435845353390528 )x^{12} + (-345649095831040982652479451320a^{2} + 504641914827326283778454885320a + 524752294891958504248481794272 )x^{11} + (497637133881233363334911124784a^{2} + 398979395246759515028975015216a + 389370747226727116040718008768 )x^{10} + (471673352827950298202039977576a^{2} - 128177271514940454794960993744a + 227572607067084398599185994360 )x^{9} + (-7536874554641768316145675392a^{2} - 318554404698429206974023236824a + 205942604259243188390007740288 )x^{8} + (322959117352377876741028418672a^{2} - 386681564751210335832877480528a - 632559145138107313308558598888 )x^{7} + (124967758430476970708855150848a^{2} - 413070013648864880412681306888a + 464446658643892691415012502120 )x^{6} + (-352626731728606424543877105256a^{2} - 351075646538955052948019196824a + 526340243909087638859953225672 )x^{5} + (336497145233029522381244359792a^{2} + 561747893109293880887458646368a + 344844836461309983824025425312 )x^{4} + (194620611517887054774952802032a^{2} - 416385151886040259083307867376a + 570186499599916065643299248240 )x^{3} + (-221742973357836740757196698552a^{2} - 488080615914419343250314715904a + 130229312861674676008001639664 )x^{2} + (291795173364824722552284328752a^{2} - 337263279898283547162968984088a - 527320848672047305245076531568 )x + 494019164196104555613620868932a^{2} - 210999751642202006205507360420a + 569762052693365343361406838788 \)