← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.3.1.32768_401408_434176.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 3\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
3
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 3 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 3 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-612333938579902228985647888816a^{2} + 136510950241684979575836323068a + 376121607259466632159935049476 )x^{47} + (620610147341260965059008956480a^{2} - 33041535673033134167260293580a + 489344429612705958300661035362 )x^{46} + (-479291378283099039283699601680a^{2} + 468441733440107280151115602632a + 269308400701420096146839047720 )x^{45} + (58364998011865916496428165948a^{2} - 633722025003095525696851515478a + 625642145740383832498312235392 )x^{44} + (-598263503180514242065407116916a^{2} - 146961385864410626203731202380a - 567273921967705037121150935688 )x^{43} + (108314147755449663177623781616a^{2} + 507382805213710433124625938840a + 14104924334598156034187452616 )x^{42} + (326440216113365475097977336606a^{2} + 484584893305123437686083249224a - 94916676341453487270051142090 )x^{41} + (-594740188905587438979876505048a^{2} - 609325209664365725554216900224a + 132885126054792060324427349976 )x^{40} + (-318403021905818302622586711120a^{2} - 237113470693563102495004710880a + 425560560594263453832748941552 )x^{39} + (20834133693017737782872141302a^{2} + 399806902345736980942104722206a - 97650247389149809470411555828 )x^{38} + (111171669749967074478212435872a^{2} - 536785816927163485931207301616a - 400187066449386153192453092772 )x^{37} + (554406363887770688630450736802a^{2} - 4607865942861123975416477326a + 299090363913340047261287876994 )x^{36} + (-78044278693337000116227877384a^{2} + 176393131776240001233812314368a - 404691637780604843804248335336 )x^{35} + (-144765995544300653176110183976a^{2} + 263446274070395283314572189456a - 307473219872070207070228614704 )x^{34} + (288465531812779938650675884564a^{2} - 234864370486180933011981059028a + 483959701971821044234533219964 )x^{33} + (251842823200951600513041902216a^{2} - 361081952069887272626952273656a + 487693673141105515395482406720 )x^{32} + (480190980162368731068092590832a^{2} - 254660500559876501563831331188a + 416908822380723801254881101156 )x^{31} + (473878905164173723421369994152a^{2} - 286762417596084885858022367164a + 401795090935524480532491897776 )x^{30} + (-612715147110760237039611303744a^{2} + 128452811568489853001512348304a + 290962048592662336097135716760 )x^{29} + (-558806796289123266099650849352a^{2} - 540630219197899046722507966332a + 9880678464087599781405717488 )x^{28} + (165723161886487834454193445444a^{2} - 350322445360271019597422157900a - 503714705453906289868618662076 )x^{27} + (594740974692638603662812153512a^{2} - 171920865056621880940034251272a - 383000553929668855919891453608 )x^{26} + (-441632804982569693267725841580a^{2} - 156566337553728843427534190512a + 171241596215822168603440512252 )x^{25} + (100347230974959606865325302316a^{2} - 256540884671929362091325469064a + 271545126959565509838163049964 )x^{24} + (-58572316053238588217586944000a^{2} - 8292185340229565043556206432a + 505036788349538127231235215224 )x^{23} + (45825508708285016106634391164a^{2} - 153704741786816585808119404740a + 460765579630854066534943066240 )x^{22} + (109020952865671134416466130312a^{2} + 249084797687462893073851312364a + 258574115739582269682757748464 )x^{21} + (299131975212255447772635752768a^{2} - 163601770609819201164810992912a + 77158526762264794260617924024 )x^{20} + (-519702433151344577331611710240a^{2} - 305069876202170461261496092880a - 33451914658094960728368219312 )x^{19} + (90329363030925654643970147864a^{2} + 505789259425518584363361834112a - 617642408115311054644522553016 )x^{18} + (-248662325641789309733695376776a^{2} - 406558867442204603100929680996a + 426845485854532168997756403204 )x^{17} + (38474203169822426541075036000a^{2} - 103514696100466560020594394400a - 347227298496716015335250985536 )x^{16} + (445488015484557386454040320536a^{2} + 90345122914621485127608233648a - 439672336954786794177444952456 )x^{15} + (-545679110051366118606083601600a^{2} - 95087326399323000556551765868a + 232813516728649246197564893200 )x^{14} + (52896318539055663418738793592a^{2} - 468092948665385228632209737816a + 530931143923512598160925594928 )x^{13} + (-426014342377673836729245239248a^{2} - 150248496494939894943944437456a - 592817078709413003843224227248 )x^{12} + (-551943850345826383010956964376a^{2} - 345490559048940685823459558232a + 419065373098491977530521524664 )x^{11} + (580162693547713860668058980272a^{2} + 83886649598001643755857465760a + 212131514460551798524939035344 )x^{10} + (-423204862075936280522870990856a^{2} + 125619064327812585297955345376a - 496167773872456059827531472176 )x^{9} + (-370228470556186847180465968a^{2} - 100142047858061062005404667144a - 494502286658467932381389251192 )x^{8} + (-343299940682349250261160186560a^{2} - 514318277968905613453957891680a - 55855551521310516974180045656 )x^{7} + (121763759854775542579088552000a^{2} - 524970093843867435639406529648a - 407249777767569271404353335912 )x^{6} + (-536256925051596528181760578224a^{2} - 235019265003096123186748584600a - 437991924943274745147855912912 )x^{5} + (108636058315783635192972702096a^{2} - 350809316446105784388480443312a - 305071283077957196943335495056 )x^{4} + (209731758827416806174240195552a^{2} + 176308768317800111741667927632a + 456619600364506578302765866720 )x^{3} + (-50194851336452214976831111736a^{2} - 260965046114150137125338362784a + 180251217998545118404636362184 )x^{2} + (476609092004830733845828748480a^{2} - 285568398156393476775116985176a - 203466251987509668218830287320 )x + 483882626603489790158351369344a^{2} + 79043601327958596933499093988a - 601378832572740695932616531384 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary