← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.3.1.24576_466944_475136.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 3\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
3
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 3 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 3 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-425334618284988407001544091584a^{2} - 429067240174156544037234951880a + 134400478105974975178492527096 )x^{47} + (-629505386262024157545647996752a^{2} + 299338202928281646451253799328a - 1192030728540499847430280452 )x^{46} + (641945344321157050859192112a^{2} - 318738090492076730332793621512a - 85396892869974619359622928168 )x^{45} + (-364732025337080438137719237748a^{2} + 72460717783781621002231301264a + 3800548859756547197318087568 )x^{44} + (212204973086304264377904783148a^{2} - 562588856676683744401969613048a + 352992836324366745244969209952 )x^{43} + (492593946549121796772656188544a^{2} - 142497071914143189927046995164a + 351759535489378474544717769548 )x^{42} + (32936850958808269274713749920a^{2} + 340127468253429619224754167728a + 146960007036747888251821651696 )x^{41} + (64373374620144289584123564630a^{2} + 380308370234852303692810858010a - 625072835532156031710568091900 )x^{40} + (263140066596563226688274799512a^{2} + 435569738020266734686105411868a - 99599125791203299782596881264 )x^{39} + (155769341472539882018849934024a^{2} + 563700445519301317967088785296a - 598704652420395050144577788860 )x^{38} + (117396422834645279714171895276a^{2} - 29341173223221238463705270488a - 194169415196136269733136200636 )x^{37} + (79759134449064461675270822902a^{2} + 217954361315547380059335133152a - 515979869273001684617381969024 )x^{36} + (135962779319986198865652416140a^{2} + 285396003197343381545234305948a + 239918247325914472586977962332 )x^{35} + (-68426717759124667192392341120a^{2} + 562496465431590034407470099148a - 92301767243690723443518531392 )x^{34} + (-625378785814736942334683254736a^{2} - 479326114717759301859155988904a - 590590567716065683054762242852 )x^{33} + (-364834106705428959983248522200a^{2} + 23738395979118338051434501036a + 169704255840150677493873273228 )x^{32} + (-197057878915855234757352310832a^{2} + 129652823516695843904714499168a + 596310471174207010846586885048 )x^{31} + (-442625628805680975209405326488a^{2} + 454765432194068729765697188604a - 131795973711223158672631194476 )x^{30} + (594566604957272731345594265924a^{2} - 111473090683959960130766731176a - 384083179734461691655671476344 )x^{29} + (-623350054267152358626120214584a^{2} - 276768666803278171313403168132a + 411308889676594713862005436024 )x^{28} + (-482330645762324181365584641348a^{2} - 394803338142024113754252487296a + 559345340758574501030017395816 )x^{27} + (101313201818119739996478523032a^{2} - 226771250391741740552704420336a + 169850824551485145016348155476 )x^{26} + (317806970567641644118700936904a^{2} - 617899495224912283785341719136a - 351462908389463041061393015408 )x^{25} + (304842134985443697413806665188a^{2} + 420040807453657253168083969940a + 436641898199098115136788352796 )x^{24} + (11529588230113514790434863056a^{2} - 296348707428970349018590153448a - 79382782893080836911979357680 )x^{23} + (-493732683914398630506659286472a^{2} - 611857407159116399884364174932a + 377357706176290823152625295148 )x^{22} + (-487478876107586880883825253900a^{2} + 389686896540432835245650342112a - 300608317469209741461806692956 )x^{21} + (202197858961421305066106749728a^{2} + 335572758767668627585661636232a - 571485911444477414245196208736 )x^{20} + (-62828424973897337013913864896a^{2} + 387794343915743486601981346784a + 47615254499801422106382419856 )x^{19} + (-273650077503545615549738041608a^{2} - 307174006411018444329041047808a + 347797296123263557191202572056 )x^{18} + (90926738439485441832344808456a^{2} + 1918282174658450173583992528a + 136097645535366259161521290136 )x^{17} + (-164104519409831171483729231112a^{2} - 345903476116840603053632370232a - 210195574684743497226973912692 )x^{16} + (168363553115258473691679624960a^{2} - 171613236731793970159435250440a - 492159400793175487800316995592 )x^{15} + (-336815162018874123288249586232a^{2} - 628376551012050791299180600384a + 399099969547025973627430294536 )x^{14} + (-247546131459545493190387024848a^{2} - 283053448256694733216338349960a - 171886032989191491027490975000 )x^{13} + (-207210266825170440408081311880a^{2} + 317434510185072539251805947824a + 136066932863353349018900204600 )x^{12} + (347914840920759620451763016936a^{2} - 504677713632489111907589200232a - 40126486652080936058089015136 )x^{11} + (-41348247618227340901865512376a^{2} - 631219006921878152641367119144a + 605391650014108597715184734664 )x^{10} + (-395064301113234820128179921784a^{2} - 81644813458914837716107255312a - 488325932861142094817092661840 )x^{9} + (44096154279497334581613236584a^{2} + 430650705410870254424463025176a - 540780888923360460335661451552 )x^{8} + (37357110458271604578958679552a^{2} + 461021008455942363409749890512a - 88232835939155158909434535008 )x^{7} + (201694725558737333637579088088a^{2} + 61965081054229614904672132216a + 504859453205884715390655917400 )x^{6} + (-97015562010961697954271947744a^{2} + 56714159125983292210140120344a - 107041401334705407769592366288 )x^{5} + (-554158265272053828323260004296a^{2} - 288186803557937124350206635000a - 624193922360920293073730271696 )x^{4} + (613081638503459944074154980912a^{2} - 336284439172204667749352587024a + 317079160917685225671723419952 )x^{3} + (382642946717330732439008511840a^{2} + 390160591304833599904975928448a - 137352046386998526192165759432 )x^{2} + (148436425298666194375129540984a^{2} + 352304383979795839774701448008a - 304643884303863853570986175072 )x + 121733990301930712288525046892a^{2} + 16106905033460642495704320752a - 22812042973678708407221198636 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary