← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.3.1.229376_262144_491520.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 3\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
3
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 3 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 3 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (462672682552208216821521599008a^{2} - 398716276335402931322089639168a + 216978394105684972015232173544 )x^{47} + (343494548705993533568545027576a^{2} - 374962390881459893605868838092a - 599778364473638773844883203028 )x^{46} + (-586522267452447562728465124592a^{2} - 112540295434598649259999033216a - 365687848669961554986426051920 )x^{45} + (182209798416080757391786737060a^{2} + 348128870955567249624197228008a + 504550608006015152278366979876 )x^{44} + (94736389167655557329552650852a^{2} + 521152064730086286375035845244a - 232724830475697786797002237544 )x^{43} + (-510031419860846493601066614484a^{2} + 434656063409481920317329275744a - 342221504193390331142972831572 )x^{42} + (-140803415994999463025207876464a^{2} - 26381370135287182849532807160a + 70887831371593443156467881848 )x^{41} + (385694837070831492030987801544a^{2} + 209660502380171106868794400132a + 258482226785418581374740951366 )x^{40} + (-347375746206479518510076798832a^{2} - 470585876213967516043411893896a + 589414772224599270403641966244 )x^{39} + (-374730983071145053888313412520a^{2} - 9761666525855657632877974772a + 118111294166094484871022487580 )x^{38} + (-90846020726171598751924107236a^{2} - 566261364751849046150027981492a - 88895069595246479510628044808 )x^{37} + (-24698786001374690220541325416a^{2} + 296957391677830249686388701236a - 606764626433640160500482364150 )x^{36} + (79173869531194787988301529400a^{2} + 365861379358106941265209732896a - 61795889565860623367506050716 )x^{35} + (-309823696381802101785031593948a^{2} + 224737965524334455999447467396a - 629517609007281540243061370568 )x^{34} + (575355549359682525826937303400a^{2} + 479143591861098633191866199160a + 501845894854272515915865758992 )x^{33} + (574202285568325621173540622008a^{2} - 427576600440752353524866135632a + 409831440116798808597119972768 )x^{32} + (-520192364033680862508240342576a^{2} + 325352102318938615517299088192a + 512348205395547945006343479392 )x^{31} + (-406288545313220521746886259704a^{2} + 197559678472539091468440437860a - 438151118827693609251969968604 )x^{30} + (-181386856911511829292952969112a^{2} + 322091616430370289454565432328a + 39165928510729391717009425332 )x^{29} + (361164518416500041156981415140a^{2} + 1004365415656797201500746404a - 226109961504292302683568855692 )x^{28} + (344432985267010176523802746232a^{2} + 613363149426475004913440692912a + 435275052622894420523909099836 )x^{27} + (-333562292795647688464383601160a^{2} + 622764757821176907383472733176a + 272091748774185626525759968464 )x^{26} + (73212796392064098382393508488a^{2} + 566004616536220150934130868752a + 383094641678857513532936880608 )x^{25} + (271238706501141981521170391392a^{2} + 398296503966595270549021167156a + 31321779374806821996424760832 )x^{24} + (-138282048457360037152041039568a^{2} + 275008497634747252863410333824a - 191734975468013110551903339080 )x^{23} + (-179214599632472109456286239456a^{2} - 273953723416436321976137818984a - 344126011050741433514188334556 )x^{22} + (-108763602084143916911995168728a^{2} - 351917166678508099848816749664a - 68549155040580348605788091036 )x^{21} + (-95277180242743616306042030600a^{2} + 583548722722070808593040335520a + 347434268068622399743889806600 )x^{20} + (-346126802796389319780837181568a^{2} - 55447850160023310073441735344a + 621158583555961717003713976608 )x^{19} + (545637002773204745805800862504a^{2} - 345553992530412407029111360624a - 248784931383711668668741237928 )x^{18} + (131949033679399789159316168832a^{2} + 510960275425924980919432884568a + 575475542847717888169028009776 )x^{17} + (-538889403821907117930263503896a^{2} + 236611627290722575612456807072a + 633794722765753218582001832892 )x^{16} + (183990423887185303861607660384a^{2} - 353872470286897438519753794704a - 400210221530767597358214793864 )x^{15} + (-148118766161024210979524087840a^{2} + 629577790759341266073347946096a - 431411519354398941240765565336 )x^{14} + (-398668416873608717272746939680a^{2} - 270708913025054999554689468688a + 329029839980755132778946249240 )x^{13} + (-154948631317177004215522073080a^{2} + 235578685048269039049391455576a + 75338705825215167262123922912 )x^{12} + (141916864077473656402031779648a^{2} - 589021567219275227948299658736a + 13735310726671321336748956976 )x^{11} + (-290938112242844111577022560960a^{2} + 418030044702966647606489485360a + 574042424444942569354316634664 )x^{10} + (-511479359216823453260620440320a^{2} - 379663509777864572855989858184a - 172457120235215831464067640576 )x^{9} + (534971859537729704194198167344a^{2} - 238030682355299288742819448368a + 63254722575581978483576549896 )x^{8} + (-53370013461724363459433198080a^{2} - 125785590379056538558422745472a - 63500226419630534148322282480 )x^{7} + (626798694415293726017934968240a^{2} + 233575148602453209850188082192a - 366752851634185860560929325344 )x^{6} + (-610896659492694676663175414736a^{2} - 611283889173272474211199775280a + 25755712034602835056882327456 )x^{5} + (-561828984621420849395816286776a^{2} - 189335101150604213455078450920a + 142237028496173966818678597000 )x^{4} + (-571627765535358156831211510720a^{2} - 264837383361775437395930056416a - 273031450517840243002958785296 )x^{3} + (60862916951286119693380129136a^{2} + 438299936841708416163154560768a - 439757514635967727746013428984 )x^{2} + (-74046666777015272039376253152a^{2} + 633087288342974879218446017392a - 383983834691830885173286814696 )x - 155218001707456372972386968832a^{2} - 548412267892552576903145795160a + 491071546120330324777974727700 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary