← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.3.1.212992_303104_516096.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 3\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
3
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 3 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 3 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (149277398441659664953841141784a^{2} + 320673629016667457037184128112a - 567919937088849264201921254784 )x^{47} + (400763445193607627001675775088a^{2} + 53932939218326585036695417520a + 544749133936034609109176965932 )x^{46} + (68860130491609122613250388752a^{2} - 406640946583259328152626115272a - 435840891871773488077581845736 )x^{45} + (-408618297845258592287338538640a^{2} - 447297651389795891999943158396a - 605936508003805119008528939648 )x^{44} + (510883777152088084732512071508a^{2} + 8591314323815967533910327156a - 374139428400152087341338026300 )x^{43} + (-198505279980232151966942726064a^{2} + 152428946638216657651064859908a - 216301513898697854036830619064 )x^{42} + (-484669851679960746246067014464a^{2} - 442826786751635261878503418240a + 324561790465241749825650683432 )x^{41} + (-104688146271865810231292938134a^{2} + 510954423291985902097446985974a - 387062233082900161782959017462 )x^{40} + (-190550341517365969867939849984a^{2} - 56083754544983450851078623316a + 218464517043626382551227026484 )x^{39} + (-36042110238134618900441387484a^{2} - 261424101155985961204146483004a - 342387076875942846165926786616 )x^{38} + (623466407286393938545814945424a^{2} + 104819484003021061047873784172a + 180955204802902027087376335388 )x^{37} + (281887152233308925348145485678a^{2} - 53879115365244062546633996108a - 224783180269921374952082505810 )x^{36} + (-253673402162312651505882572104a^{2} + 396896406891355773834646809468a - 298908256348040484193866570384 )x^{35} + (-240267058279691086380164857708a^{2} - 430036853961248469536701810256a + 311908198067555547130568152832 )x^{34} + (111014231131641525579764467508a^{2} - 177819868256698181525619681440a - 577291962740238866157306465236 )x^{33} + (468921983204220485990627384328a^{2} - 19655473856357496114155667828a - 540587084772387349050494749320 )x^{32} + (-436289623955363240102693652512a^{2} + 591988776569466522225117140296a + 585062420648011759557011590368 )x^{31} + (-8984608774125251026136613740a^{2} + 466602293697578298237419902200a + 221362430891597037516414265564 )x^{30} + (377026976495740710307655850836a^{2} - 507443583668548120358692356816a - 633277618721323513501217835892 )x^{29} + (210065446646225506642247225188a^{2} + 453423283232428083510054703884a - 562366563590037951161940681828 )x^{28} + (372644180382315853546790787316a^{2} - 433878097521933690967084758512a + 324335769712349779099095728380 )x^{27} + (-47861619964474452592084937972a^{2} + 190065681302460917088360815584a - 615865306813537548198719965484 )x^{26} + (273313464294279047814780061104a^{2} - 574348466070012341831827868424a - 592146587289281062638640660192 )x^{25} + (-220611847475178062524744329440a^{2} + 135224531287938096133010252736a - 358592914800512444066314726476 )x^{24} + (-278565702094095250550669087120a^{2} + 27419137138004092480822550296a + 502446938713929920038200311352 )x^{23} + (-242392597575265638813344774492a^{2} - 445656495219270585250282085424a + 304775541682726490967011268704 )x^{22} + (291086953525847203198795304988a^{2} - 581724031818023809558250607548a - 524129307268272424671818104776 )x^{21} + (-224656046615442368047368613024a^{2} + 295080410608660990543962346568a + 459561770623719351116201642064 )x^{20} + (386980497371781646664216569840a^{2} + 548960747487364096306537911392a - 513768245038031177717555764848 )x^{19} + (133615326214930056055842795872a^{2} + 190403636922407862398867865688a - 389974869051026090279862446936 )x^{18} + (148645996755672021621763044576a^{2} + 273730255612553175922744600408a - 485218705288651263165986391432 )x^{17} + (-82408851202432815838030138320a^{2} + 612236429202005789879995945856a - 282596601051130892877872268084 )x^{16} + (133357514514402072056206790776a^{2} + 482900676794424731199828928832a + 136903392502763041707338057280 )x^{15} + (20324743743339948834957364280a^{2} + 249216448137291777901279140408a + 574364376863174045745725149952 )x^{14} + (-167683168986469987030657980152a^{2} - 563360347145124853207088938848a - 366065917513006344640630702784 )x^{13} + (542099978512585801253071911512a^{2} - 370101342068317216033545836512a + 32137294220792750351743952248 )x^{12} + (-190090526561809576292513329336a^{2} + 315141332721343314581129623592a - 31476310785773336864928696032 )x^{11} + (-83450429782873550148458279856a^{2} - 176956015440482273591077769240a - 232106459286656324904104110880 )x^{10} + (118799418232311159651609474264a^{2} + 370930276049513292930614035160a + 186225047420971130102967160904 )x^{9} + (-527331290286173918922694656152a^{2} - 480151369200179197048651386296a + 527690172743646884034441095816 )x^{8} + (549541573233196782218625444160a^{2} + 568846223293972670813754649008a - 359878412366073207291033393856 )x^{7} + (-514860961688350847859815363600a^{2} + 176168580308780687169871399072a + 437181452324183850531158539512 )x^{6} + (-168155941915308209561798777608a^{2} + 440582764062783502091800172336a + 210028360415913845773815159792 )x^{5} + (-367308506010338484882972566720a^{2} - 213035816711903768442245094096a - 628075950571421427443045806872 )x^{4} + (-194676133956087264431482091232a^{2} + 125796913271085120859951957616a - 123543914039399196216927301504 )x^{3} + (-130045135604122714454895197952a^{2} - 349465011243100203946465908048a + 585753213521159200920432241128 )x^{2} + (557839261275159317435529525144a^{2} - 576131189272148240625970907432a - 238478795338107787856056102760 )x + 331164885846200318825676403596a^{2} + 112254047436424324277766494100a - 449208505359506013082428513960 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary