← Back to 2.1.2.3a1.3

ex.24.10.1.31_63_95.c

Base Field
\(F = \) 2.1.2.3a1.3 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{2} + 7\cdot 2 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 10\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + a \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} + 90546471444873528678335943241b^{3} x + (90546471444873528678335943241\mu_3 + 90546471444873528678335943241)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
20
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 20 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 20 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + 4)b^{2} - 2a\cdot \mu_3)c + 4\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2a\cdot \mu_3 + (2a + 2))b\cdot c + 4\mu_3b^{2} + (4\mu_3 + (2a + 4))b + a\cdot \mu_3 - 3a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - 1)b + 2)c + (3a\cdot \mu_3 + 3a)\cdot b + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - 1)b^{2} - 2b + 4\mu_3)c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + 2a\cdot b + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((b + 2\mu_3)c + a\cdot b + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (a + 2))b + ((-3a - 2)\mu_3 + 4))c + (3a + 3)b + (-3a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + (2a - 2)b - 3a\cdot \mu_3 - a)c + (-\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + (-\mu_3 + (2a + 3))b + (3a - 3)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((2b^{2} - 2\mu_3b - 2a\cdot \mu_3 - 2a)\cdot c + 3b^{2} + (2a + 1)\mu_3b + (2a + 1)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + (2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + (2a + 2)\mu_3b^{2} + (\mu_3 + 4)b + (2a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (-2\mu_3 + (3a + 2))b - 2\mu_3 + 4a)\cdot c + (2\mu_3 - 2)b^{2} + \mu_3b - 2\mu_3 + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((\mu_3b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + 4)c + 2a\cdot \mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + 2\mu_3)c + (4\mu_3 + 4)b^{2} + 4a\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((-\mu_3 + 3)c + -\mu_3 + 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + 28261683353735459005718532588a - 6821935044214331538437044640 x^{47} + -51798648912087396127399632340a - 395983041635238001419758727952 x^{46} + -200978436970439385944561613728a - 507757230894813192035042984800 x^{45} + 6098713180927700688244600736a - 534526852909305905580343246048 x^{44} + (523089222906913149059125029160a + 438696670680084497681073982116 )x^{43} + -380858819870717256304857329692a - 214487820606314664778872889880 x^{42} + (581923728631319961510987397968a + 315099754470451661772502853880 )x^{41} + 556164709844007116417561980192a - 455315270695854684311067747944 x^{40} + (588883988080556680635166982848a + 157259122638740519667396784112 )x^{39} + (-384908058722949956390931973024a + 515793627071364225131763208564 )x^{38} + (333815126520621473943818156024a + 92306352085149815945946395104 )x^{37} + 145869825854982551678388431488a - 574630825238475132695522881560 x^{36} + 458315312654157859327121278000a - 389708818284660659683614553704 x^{35} + -289358901475449902916728455692a - 410294539960814288434350278032 x^{34} + 583662781772555771194846045400a - 193087519467119548791276233704 x^{33} + (312715853657715429276381161156a + 252273391581760861052110291416 )x^{32} + (-504995899773221953427603786064a + 357030774157866439336985412832 )x^{31} + -584690632122204563066205305056a - 546461474385459372017062172732 x^{30} + (-612921492114582730309632682664a + 93856335315868936177413086208 )x^{29} + -57671550306672514062031530848a - 322653332177690060901816263328 x^{28} + 485989047665470476247818400496a - 539989928794042122540141819184 x^{27} + 221530321203239517203288767456a - 101206409051269332482519359864 x^{26} + -85408887075200580742651440320a - 236807118777112972466849096792 x^{25} + (-201565887523273101216834960306a + 481954369124680128779022921904 )x^{24} + (539200618187590670093021432944a + 276206866737701261452153963608 )x^{23} + (520791499759111959554837536512a + 19570785435940049954705558840 )x^{22} + 284386920243188237993929905632a - 340779865369986696200422665792 x^{21} + -462863598581724025838526494040a - 74991079159706907416004890552 x^{20} + (-460005700862841924724598848100a + 358466436942268584852509710992 )x^{19} + (496844739259143359808540174264a + 114558605357797925408406279416 )x^{18} + 292841966236759481085912868600a - 182380336124465338841711302688 x^{17} + (150719541915918062742552206720a + 118734286544305652826040522288 )x^{16} + (511743682577442883312782342848a + 286971156229416325032642987024 )x^{15} + -182431038496611012849231314572a - 440194227622020382248155960816 x^{14} + 350546501036614347198480631184a - 512055283157756624312866771472 x^{13} + (-529745425573265108982332090808a + 275413925788028665137784016580 )x^{12} + (-416033134412374844178256011432a + 269894454952709445554083370624 )x^{11} + 332596774441939263355506089664a - 546254899763315569702390483416 x^{10} + (-189415659970814938231382301624a + 330928868388736220367418704848 )x^{9} + -583177442945433126646920700968a - 513659083204326412828699540312 x^{8} + (-111221567973505106164908889024a + 172853957469891237595053952608 )x^{7} + (58736373775802312289486319028a + 153776496744610634010472360896 )x^{6} + 342121997844919219310149098496a - 145753409784233227516182887728 x^{5} + -514543278482151155879161273952a - 257593902669325336774787632176 x^{4} + (-394916931596221833711044960224a + 12958696143970657793666782528 )x^{3} + -429200614311822394980037326168a - 388371218541937133954334881568 x^{2} + -152912357171830954266904429952a - 532520350637144585165061447008 x + 616153677438303548188438000480a + 148910748241391189611829775042 \)
← Back to 2.1.2.3a1.3 Summary