← Back to 2.1.2.2a1.2

ex.24.7.1.31_63_95.b

Base Field
\(F = \) 2.1.2.2a1.2 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{2} + 2 x + 3\cdot 2 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + a \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} + ((70425033346012744527594622521a - 70425033346012744527594622521)b^{3} )x + ((-140850066692025489055189245042a + 140850066692025489055189245041)\mu_3 - 140850066692025489055189245042a + 140850066692025489055189245041)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + (-2\mu_3 - 2)b + ((4a - 2)\mu_3 + 4))c + ((3a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b + 2a\cdot \mu_3 + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + (4\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a - 2))b^{2} + 4b + (a + 4)\mu_3 + a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 1)b + (2a - 2)\mu_3)c + (a - 2)b + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a - 2))c + ((3a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} - 3b + (-a + 3)\mu_3 - a)c + ((a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (2a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((4\mu_3b^{2} + ((2a + 4)\mu_3 + (3a + 4))b - a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot c + 4\mu_3b^{2} + (4\mu_3 + (2a - 3))b + (-2a - 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + (a - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + 2)b + 4a\cdot \mu_3 + a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 4)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + (2a + 4)b + (-2a - 2)\mu_3)c + (-2\mu_3 - 2)b^{2} + (2a - 1)b + (4a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a + 4)b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a - 2)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + (3a + 4))b + ((-3a + 4)\mu_3 + 2a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + 4)b^{2} + (2a + 1)b + \mu_3 + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - 1)b^{2} + (2a + 2)b + 4\mu_3)c + ((2a + 4)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + 2a\cdot b + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((2a + 4)\mu_3 + (3a + 4))b + (2a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + (4\mu_3 + 4)b^{2} + (4\mu_3 + (2a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((\mu_3b^{2} + ((2a - 2)\mu_3 + (2a - 2))b + 4)c + (2a + 4)\mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + -517882230189070451067025862016a - 396546794730714203296411926912 x^{47} + -621100977577288079605043071912a - 175518018250821764055102249816 x^{46} + (619062951303431390160105273444a + 187345567064833041966375715440 )x^{45} + (-580751477733985655165178025932a + 519101757450476021322840916692 )x^{44} + -107058429533199612845813010032a - 154049520215789520258703299352 x^{43} + (-137738111768562372778151024424a + 141075961858969605455347447436 )x^{42} + 406740266146315984376791545648a - 222649944957976358996808296032 x^{41} + (607888123764077932855572178172a + 131352242595522561067645302164 )x^{40} + 427319074011757269101037380040a - 536583182069584632136733735952 x^{39} + 536725744840334862299780996368a - 537347825037340777533820093088 x^{38} + (489714644930261288533143541000a + 372891085744739771329121316720 )x^{37} + 560777057868034749241239403752a - 31093683657610651425519482300 x^{36} + -394737366502301914219302130920a - 82383014309398566064344747120 x^{35} + (326524584972916558594815642672a + 217575347701402937775085583096 )x^{34} + -291629357468610932261964512664a - 534256832076482491725327494184 x^{33} + -425092346394171386881718095520a - 257901020606429018544093960656 x^{32} + 440327985106766832373867848928a - 332804489982361362145951021728 x^{31} + 587945889850704074129725348980a - 402188399831700195488671764144 x^{30} + (27121071017660038155007607816a + 96787556268421334540362571584 )x^{29} + 225746990352276926185586163028a - 75647585991924788223787037060 x^{28} + (-175849949696067242610121146480a + 77707890389641198884176874840 )x^{27} + (-394160306372509331176043969136a + 67739116500344378088948943736 )x^{26} + 184139525499167919419869280504a - 161684090538761879812863951472 x^{25} + 240319615068367515069873126006a - 596505993076563749979601498112 x^{24} + (-544698987622861376386161393344a + 237444573542926055689452791936 )x^{23} + -502534656433912914739098091800a - 337884356229900376841741976272 x^{22} + (359188415024829234101479415360a + 483325518674836559098739237960 )x^{21} + 256118516067085920969366733100a - 618734196668110741643438330016 x^{20} + (-544408512160651598689673054328a + 445411851320065602653682453680 )x^{19} + -329122961462487232397874279904a - 215107449918910977609198257120 x^{18} + (584898981518630226400046982120a + 472322001413144659184805967904 )x^{17} + -255855292873976882397561508740a - 382027926699197627033207344424 x^{16} + (467288306270359117540141913856a + 458216811715677596459922659856 )x^{15} + 148728790942858001623576790776a - 278631595112306523646157792592 x^{14} + -301000330708885863991952584752a - 446399313931668066869368063312 x^{13} + (-579841604593626718040465449448a + 473908152647578967472680367532 )x^{12} + 362181306273743422185536335744a - 333986879537760958707989322768 x^{11} + -577302591481338548953532391752a - 595540598688643965367788520152 x^{10} + (606561122890920011310221221120a + 517969627304657509624238133520 )x^{9} + -595668258120085641058901663784a - 436120409911031184633214205472 x^{8} + (-27337107721415444794844041760a + 344983088395830482817364907904 )x^{7} + -300108318611853750348173835808a - 490115099298942098483837318520 x^{6} + 214595972299782193967402150080a - 32039529862407193215917507904 x^{5} + (-15881672086639137369656549756a + 614940666270669003446395415248 )x^{4} + (-131702096608151081936564687664a + 451515054712698281022012643424 )x^{3} + 417622834377231939027524414368a - 184816570637920121161165912544 x^{2} + (411286158292196615089962757784a + 385564786771818657569099427568 )x + 171443667803213032947155507498a - 387523931887204874649000207850 \)
← Back to 2.1.2.2a1.2 Summary