← Back to 2.1.2.2a1.2

ex.24.7.1.31_63_95.a

Base Field
\(F = \) 2.1.2.2a1.2 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{2} + 2 x + 3\cdot 2 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + a \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} + ((70425033346012744527594622521a - 70425033346012744527594622521)b^{3} )x + ((-140850066692025489055189245042a + 140850066692025489055189245041)\mu_3 - 140850066692025489055189245042a + 140850066692025489055189245041)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + (-2\mu_3 - 2)b + ((4a - 2)\mu_3 + 4))c + ((3a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b + 2a\cdot \mu_3 + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + (4\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a - 2))b^{2} + 4b + (a + 4)\mu_3 + a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 1)b + (2a - 2)\mu_3)c + (a - 2)b + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a - 2))c + ((3a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} - 3b + (-a + 3)\mu_3 - a)c + ((a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (2a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((4\mu_3b^{2} + ((2a + 4)\mu_3 + (3a + 4))b - a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot c + 4\mu_3b^{2} + (4\mu_3 + (2a - 3))b + (-2a - 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + (a - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + 2)b + 4a\cdot \mu_3 + a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 4)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + (2a + 4)b + (-2a - 2)\mu_3)c + (-2\mu_3 - 2)b^{2} + (2a - 1)b + (4a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a + 4)b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a - 2)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + (3a + 4))b + ((-3a + 4)\mu_3 + 2a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + 4)b^{2} + (2a + 1)b + \mu_3 + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - 1)b^{2} + (2a + 2)b + 4\mu_3)c + ((2a + 4)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + 2a\cdot b + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((2a + 4)\mu_3 + (3a + 4))b + (2a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + (4\mu_3 + 4)b^{2} + (4\mu_3 + (2a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((\mu_3b^{2} + ((2a - 2)\mu_3 + (2a - 2))b + 4)c + (2a + 4)\mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + -517882230189070451067025862016a - 396546794730714203296411926912 x^{47} + 296153556786360234458666322088a - 181049193774243668197025714392 x^{46} + 213082742541446203605575746108a - 261094897755941932945554256848 x^{45} + (92188091794491599476923221276a + 122809824971740495658618213164 )x^{44} + -207918295244096603462518161152a - 375127387364389908552733945432 x^{43} + (-402056814312497694070181323712a + 596665152551029599233720215420 )x^{42} + 68319973899658450064386863376a - 442399221232377193003993958656 x^{41} + (550552863795038856909719785008a + 280159095775706605094484074296 )x^{40} + (-207541050232355287042915000040a + 450389080107815784509584373744 )x^{39} + -9835649785980003014210074856a - 154998532542845891658403350848 x^{38} + (545575247868295014032285761704a + 238858095651508547938481558272 )x^{37} + -456623001264824988237381187416a - 76427211924261084855379695296 x^{36} + (565205026063983074097163050328a + 446910932445935906337172739872 )x^{35} + -64213441102586454660986969832a - 181952205243632399551518678248 x^{34} + 394976911087269106790674046384a - 192665983679339185449748627456 x^{33} + (-587603646373920771828767014116a + 120117276067751022908120708640 )x^{32} + 420667510691652222521661113952a - 485586064055199884718116826048 x^{31} + 330093787868886833080473151924a - 626616380423770563983512519024 x^{30} + (-241244894008778237203802280296a + 339007197704663383342478164160 )x^{29} + (-574103251985569407174613946876a + 287066130467267518868031134372 )x^{28} + -92559706018163025773454799360a - 311880609710399767895647306936 x^{27} + (-122613050875866209943724766976a + 631625979649757231316512138104 )x^{26} + -400793073172297146070863234272a - 530034392618117422259998537632 x^{25} + -559379205651180396572833982658a - 502427624661732144395681588296 x^{24} + 348256467438193186170786107776a - 118219079014489764746750075616 x^{23} + -173074123444898773545453457608a - 221656584661747184416371359184 x^{22} + -99814814898241816480720375288a - 542395807790679363121580801288 x^{21} + -611919272990387089286220942348a - 445535337926693281161527801992 x^{20} + (96562966348945604814702530792a + 500131146955728722434675146656 )x^{19} + -574757747104378505300166472392a - 550298487779375878653526963360 x^{18} + (-141035364215522373838294597096a + 46855399345118437996984281968 )x^{17} + 345588941328231228330914745368a - 35111881773936231399961455792 x^{16} + -631497538372587043588677982144a - 260501335774287988969605168656 x^{15} + (-333815832929286991014925339272a + 624985037463741933918031663696 )x^{14} + (395052634493944457100522119376a + 69399349907807777441733628752 )x^{13} + 180204262976336254624515053272a - 533877941737761414923624893988 x^{12} + 344999270135827934031886548960a - 495321010982557055712233185136 x^{11} + 77740011517398675616180711888a - 344245978916645302960530624696 x^{10} + -222297691560792357231790571248a - 18122649471330273093824949168 x^{9} + (520987478179058455864183056424a + 339158405268974000460911106888 )x^{8} + -316672778017456336437106682496a - 468863501075052990121205103712 x^{7} + (279263651275375505886297071368a + 473949199422238820020683058552 )x^{6} + -279841476012786864710527436528a - 202250035726643171341924236192 x^{5} + 355371786801491826125667672484a - 631119335495560725816162321944 x^{4} + (347749785207415701664906616960a + 106831378760177711232908384560 )x^{3} + 108813548245793060951197883584a - 619850370614142304984517674368 x^{2} + (-422788655951487851656931968600a + 378348829653625263238271403808 )x + 111022995588776727767950438710a + 473364139625105280045079869898 \)
← Back to 2.1.2.2a1.2 Summary