← Back to 2.1.2.2a1.2

ex.24.10.1.31_63_95.d

Base Field
\(F = \) 2.1.2.2a1.2 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{2} + 2 x + 3\cdot 2 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 10\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + a \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} + ((70425033346012744527594622521a - 70425033346012744527594622521)b^{3} )x + ((-140850066692025489055189245042a + 140850066692025489055189245041)\mu_3 - 140850066692025489055189245042a + 140850066692025489055189245041)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
20
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 20 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 20 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + (-2\mu_3 - 2)b + ((4a - 2)\mu_3 + 4))c + ((3a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b + 2a\cdot \mu_3 + 3a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + (4\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a - 2))b^{2} + 4b + (a + 4)\mu_3 + a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 1)b + (2a - 2)\mu_3)c + (a - 2)b + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a - 2))c + ((3a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} - 3b + (-a + 3)\mu_3 - a)c + ((a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (2a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((4\mu_3b^{2} + ((2a + 4)\mu_3 + (3a + 4))b - a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot c + 4\mu_3b^{2} + (4\mu_3 + (2a - 3))b + (-2a - 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + (a - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + 2)b + 4a\cdot \mu_3 + a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a + 4)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + (2a + 4)b + (-2a - 2)\mu_3)c + (-2\mu_3 - 2)b^{2} + (2a - 1)b + (4a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a + 4)b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a - 2)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + (3a + 4))b + ((-3a + 4)\mu_3 + 2a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + 4)b^{2} + (2a + 1)b + \mu_3 + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - 1)b^{2} + (2a + 2)b + 4\mu_3)c + ((2a + 4)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + 2a\cdot b + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((2a + 4)\mu_3 + (3a + 4))b + (2a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + (4\mu_3 + 4)b^{2} + (4\mu_3 + (2a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((\mu_3b^{2} + ((2a - 2)\mu_3 + (2a - 2))b + 4)c + (2a + 4)\mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + -116734822955810339022788239892a - 191408607873699715846936539480 x^{47} + 107181132062954084584951361692a - 311825783835970372189102749344 x^{46} + (-227403233026488357777431781368a + 517697014200577361406658832512 )x^{45} + 598182835429466579714951807016a - 431264093041831056394154671816 x^{44} + 124071906657482090155343042464a - 104393248311078364212142772292 x^{43} + (-500099075802873542158174875640a + 291509333902696347091882858864 )x^{42} + -632464079982255658287537236840a - 561708416532894247706265164536 x^{41} + -478665214032088518462207845672a - 474129220350623183824752602272 x^{40} + (523460261825104511481751758048a + 96748444054708678203314647040 )x^{39} + -62336077952740041053492972424a - 626079230528601950206925926844 x^{38} + 153972481008210321814409639308a - 365322246620049939777859189736 x^{37} + (541431539478711321567699147152a + 246522774242651362779330960840 )x^{36} + (-143965726201211064595921785240a + 161217411673295161758793396760 )x^{35} + 564155726802782087630193661940a - 505286065247902265125603631472 x^{34} + (379599487669408078557651081064a + 124784503299546233964738456136 )x^{33} + (-372438905810844108639353627572a + 39064063160223101259149848056 )x^{32} + (-125454279782194194497696581744a + 3324251089107470694867766432 )x^{31} + -412188635810031799908537757044a - 494008235318115169836829429004 x^{30} + (-286964776277086242851301191040a + 66722835360447427239275358728 )x^{29} + -413572518581649090874098596104a - 443218760860483393551235857168 x^{28} + -572992389558483350438765984368a - 197738688020763048119600463376 x^{27} + -544453252550551833789117840872a - 590642146868597419065809840000 x^{26} + (350123482391733241967175083312a + 581292574513342385866569179672 )x^{25} + (-122944519694380399612068737466a + 516905872575070292537368142144 )x^{24} + -228830370653649116381768769632a - 186757192712173727863204119320 x^{23} + (-104764568405702928548984531704a + 312371521418412440006692932040 )x^{22} + 446170803514745279907939818240a - 468041790631752537530838101104 x^{21} + 31496404349554439839706726520a - 483094190439202500922712303832 x^{20} + (449605994664443861762836778588a + 612481217920156377182027393376 )x^{19} + (94321108766519839814505270352a + 476118650094729521965167110160 )x^{18} + (-239737004635335566607520762984a + 614454213135442206361457320976 )x^{17} + -377866761009944806988894901944a - 376454986264839826085868234160 x^{16} + 225312143031045150940167294432a - 465665828325252698911336831280 x^{15} + -580374248461512729051837522732a - 377570803844770511728764359824 x^{14} + (201016796061581496406649549120a + 103932815922457835950284995864 )x^{13} + -113707765660455164039876618400a - 273973817836700039552378539076 x^{12} + (-211407432530730943740053819784a + 432578149586537832840975341824 )x^{11} + 59889954402940263873173269128a - 530893395539679608172927672760 x^{10} + -66004669620263223403758265816a - 103079963563683244677397866352 x^{9} + (-340835674477446375294882152240a + 141927673412096029643567628664 )x^{8} + 318286267231058288566020051008a - 68715493054713447156171453120 x^{7} + -401588264439504975570789304532a - 33419303289884771146482146984 x^{6} + (-96055255748796336562121438600a + 255926488306888169209215824608 )x^{5} + (376777131126159955562143755152a + 174300903179541459176457942080 )x^{4} + -87453073686438520257552631072a - 201686219110746195288645206336 x^{3} + -379406555599634592829310865216a - 379130638101976446513409111888 x^{2} + -281088191213790575378491700784a - 54420950065749980140194374800 x - 278275168632991963369710672786a - 71398545922042840110904959702 \)
← Back to 2.1.2.2a1.2 Summary