← Back to 2.1.2.2a1.2

ex.24.10.1.31_63_95.a

Base Field
\(F = \) 2.1.2.2a1.2 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{2} + 2 x + 3\cdot 2 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 10\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + a \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} + ((70425033346012744527594622521a - 70425033346012744527594622521)b^{3} )x + ((-140850066692025489055189245042a + 140850066692025489055189245041)\mu_3 - 140850066692025489055189245042a + 140850066692025489055189245041)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
20
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 20 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 20 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a + 2)b^{2} + (-2\mu_3 - 2)b + ((4a - 2)\mu_3 + 4))c + ((3a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + (2a + 2))b + 2a\cdot \mu_3 + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + (4\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + ((2a + 2)\mu_3 + (2a - 2))b^{2} + 4b + (a + 4)\mu_3 + a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a + 1)b + (2a - 2)\mu_3)c + (a - 2)b + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a - 2))c + ((3a + 2)\mu_3 + (3a + 2))b + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 3)\mu_3 + (a + 1))b^{2} - 3b + (-a + 3)\mu_3 - a)c + ((a + 3)\mu_3 + 3)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (2a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((4\mu_3b^{2} + ((2a + 4)\mu_3 + (3a + 4))b - a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot c + 4\mu_3b^{2} + (4\mu_3 + (2a - 3))b + (-2a - 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + (a - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 + 2)b + 4a\cdot \mu_3 + a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 4)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + (2a + 4)b + (-2a - 2)\mu_3)c + (-2\mu_3 - 2)b^{2} + (2a - 1)b + (4a + 3)\mu_3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a + 4)b + (4\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a - 2)\mu_3 + 4)b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b + (2a - 2)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((a + 2)\mu_3 + (3a + 4))b + ((-3a + 4)\mu_3 + 2a))\cdot c + (2a\cdot \mu_3 + 4)b^{2} + (2a + 1)b + \mu_3 + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - 1)b^{2} + (2a + 2)b + 4\mu_3)c + ((2a + 4)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + 2a\cdot b + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((2a + 4)\mu_3 + (3a + 4))b + (2a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + (4\mu_3 + 4)b^{2} + (4\mu_3 + (2a + 3))b + (-2a - 1)\mu_3 + 4a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((\mu_3b^{2} + ((2a - 2)\mu_3 + (2a - 2))b + 4)c + (2a + 4)\mu_3b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (593292185660045016857010310740a + 578955631418283290596365249720 )x^{47} + -460455025776277367419136818668a - 538821107560978705502216010544 x^{46} + -621699602185250114306374545280a - 58141774965584559697375338952 x^{45} + (231478160175333682916640719836a + 387147173133327901518180644160 )x^{44} + -6108453556686802112464561400a - 271109194042064120019240384916 x^{43} + 615020600430093566365375126408a - 194570306784575686159837308000 x^{42} + -287081985454357382669648579432a - 433263032728912048705021757680 x^{41} + 398971008400177621523486963856a - 530768806783077964067398172272 x^{40} + (109929487809275133910956994960a + 463080549033756577964655022944 )x^{39} + 147131262170101623238216354416a - 235209004975047410664490120812 x^{38} + 628250633345462443798408165236a - 80246728707530385551072405976 x^{37} + (-287603998101592792094100372916a + 246657565677019104983839871280 )x^{36} + 151710620542763661774386466376a - 290709538787868499674635547624 x^{35} + 176628173995619781069324150004a - 594461150040805965938867187216 x^{34} + (-559019965219548123277672505720a + 605542102232066898202865579400 )x^{33} + -210084505440167638406006576412a - 428830592396970224407105471752 x^{32} + (-346839236482185615889368251996a + 113587053244898884587871060016 )x^{31} + (311389735537541859258426947732a + 281220129995236137842185904436 )x^{30} + (-140161676249132643495862821376a + 415736996615156674061685554216 )x^{29} + (-173318241397842392029798585280a + 367527262385307932769729944304 )x^{28} + -511237116573664981482037232880a - 463285983692522214554313942272 x^{27} + -334783789872093975502730839496a - 617619868910424184407028701088 x^{26} + -148900945182120117250127196120a - 7504018469615495339858826344 x^{25} + -499385497638105209036598130530a - 504258325809802107369092697112 x^{24} + 274397566512962347658929354176a - 322092733645262956667461999608 x^{23} + 374192250795141138454751236104a - 12950386218765169118769882200 x^{22} + (492264841077954662021932524680a + 371387043848811913746779050752 )x^{21} + -70427948873952760091306871576a - 260348074769864277145269798352 x^{20} + (471972285145763351251706101276a + 443790037899457743171840121504 )x^{19} + (610146655288884097806771507720a + 17886874681475019307102381328 )x^{18} + -122568979107937093082524918640a - 430114103831029097542746843744 x^{17} + -340223008652485716929128951800a - 135424189292903906359567780000 x^{16} + (-536015652680387101259319167024a + 96116743531110985726870673392 )x^{15} + (-230679027911425116008779132284a + 307933842768113619551023060544 )x^{14} + 618055822616341792877835427192a - 33569256736523981522653742888 x^{13} + (554835054041927981299983994416a + 542833348030900514660633359748 )x^{12} + -171965942766897942389497611720a - 101794817434195924568331280128 x^{11} + (-446276744193926679937718106568a + 478586379938836293373111309832 )x^{10} + 1341680801429297018117801544a - 113450960536064529209804755248 x^{9} + -218704016381083220195374852928a - 540696161749807688217358578424 x^{8} + (-583960384576849358642635019576a + 552176976555720479118434711304 )x^{7} + (-131537576415932278790706028932a + 80119088661299799672760726040 )x^{6} + (-275970245983977169567268363512a + 488501613147215430513070535968 )x^{5} + 363097198150089623098955738240a - 512112101601741802231183200080 x^{4} + 236100118853961262525887764544a - 589653880261002952865244173376 x^{3} + (-344156189937771783034232767120a + 114463344665052906098149820048 )x^{2} + -334855953041343607224990218368a - 470796195568325032639370922816 x - 532481634865485338790549058818a + 404913141838718936760591411498 \)
← Back to 2.1.2.2a1.2 Summary